> `:=`(rho, 1.05); 1; `:=`(omega, 7.54); 1; `:=`(mu, 0.4e-1); 1; `:=`(p, 1); 1
 

 

 

 

1.05
7.54
0.4e-1
1 (1)
 

Wir waehlen typische Parameter fuer Dichte rho, Frequenz omega und Zaehigkeit mu und stellen die Differentialgleichung der VL auf. 

> `:=`(sysode, `+`(`/`(`*`(diff(`*`(r, `*`(diff(U(r), r))), r)), `*`(r)), `-`(`/`(`*`(`+`(I), `*`(rho, `*`(omega, `*`(U(r))))), `*`(mu)))) = `/`(`*`(p), `*`(mu))); 1
 

`+`(`/`(`*`(`+`(diff(U(r), r), `*`(r, `*`(diff(diff(U(r), r), r))))), `*`(r)), `-`(`*`(`+`(`*`(197.9250000, `*`(I))), `*`(U(r))))) = 25.00000000 (2)
 

Die Loesung kann mittels der Besselfunktionen BesselJ und BesselK dargestellt werden. Da BesselK(0,0)->infty gibt es nur den Anteil von BesselJ. 

> dsolve([sysode]); 1
 

{U(r) = `+`(`*`(BesselJ(0, `*`(`+`(`/`(1, 20), `-`(`*`(`/`(1, 20), `*`(I)))), `*`(`^`(39585, `/`(1, 2)), `*`(r)))), `*`(_C2)), `*`(BesselK(0, `*`(`+`(`-`(`/`(1, 20)), `-`(`*`(`/`(1, 20), `*`(I)))), `*... (3)
 

Nach Einsetzen der Randbedingung R(0.5)=0 erhalten wir die Loesung 

> `:=`(R, .5); 1; `:=`(u, proc (r) options operator, arrow; `/`(`*`(I, `*`(p, `*`(`+`(1, `-`(`/`(`*`(BesselJ(0, `*`(`^`(-1, `/`(3, 4)), `*`(sqrt(`/`(`*`(omega, `*`(rho)), `*`(mu))), `*`(r))))), `*`(Bess...
 

 

.5
proc (r) options operator, arrow; `/`(`*`(I, `*`(p, `*`(`+`(1, `-`(`/`(`*`(BesselJ(0, `*`(`^`(-1, `/`(3, 4)), `*`(sqrt(`/`(`*`(omega, `*`(rho)), `*`(mu))), `*`(r))))), `*`(BesselJ(0, `*`(`^`(-1, `/`(3... (4)
 

Wir stellen nun Betrag (gelb),Real (rot)- und Imaginaerteil (gruen) graphisch dar. 

> plot([Re(u(r)), Im(u(r)), abs(u(r))], r = 0 .. .5, thickness = 3); 1
 

Plot_2d
 

> `:=`(V, proc (r, t) options operator, arrow; `*`(u(r), `*`(exp(`*`(I, `*`(omega, `*`(t)))))) end proc); 1; evalf(V(r, 0)); 1
 

 

proc (r, t) options operator, arrow; `*`(u(r), `*`(exp(`*`(I, `*`(omega, `*`(t)))))) end proc
`*`(`+`(`-`(0.), `*`(.1263104711, `*`(I))), `*`(`+`(1., `*`(`+`(0.6565063717e-2, `-`(`*`(0.4493301652e-1, `*`(I)))), `*`(BesselJ(0., `*`(`+`(`-`(9.947989748), `*`(9.947989748, `*`(I))), `*`(r))))))))
`*`(`+`(`-`(0.), `*`(.1263104711, `*`(I))), `*`(`+`(1., `*`(`+`(0.6565063717e-2, `-`(`*`(0.4493301652e-1, `*`(I)))), `*`(BesselJ(0., `*`(`+`(`-`(9.947989748), `*`(9.947989748, `*`(I))), `*`(r))))))))		 (5)
 

Abschliessend noch Darstellung zu gewissen Zeitpunkten. 

> plot([Re(V(r, 0)), Im(V(r, 0)), abs(V(r, 0))], r = 0 .. .5, thickness = 3); 1
 

Plot_2d
 

> plot([Re(V(r, `/`(`*`(Pi), `*`(omega)))), Im(V(r, `/`(`*`(Pi), `*`(omega)))), abs(V(r, `/`(`*`(Pi), `*`(omega))))], r = 0 .. .5, thickness = 3); 1
 

Plot_2d
 

> plot([Re(V(r, `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(omega)))), `*`(Pi)))), Im(V(r, `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(omega)))), `*`(Pi)))), abs(V(r, `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(omega)))), `*`(Pi))))], r = 0 .. .5, thickness = 3); 1
 

Plot_2d
 

> plot([Re(V(r, `+`(`*`(3, `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(omega)))), `*`(Pi)))))), Im(V(r, `+`(`*`(3, `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(omega)))), `*`(Pi)))))), abs(V(r, `+`(`*`(3, `*`(`/`(`+`(`*`(2, `*`(omega)))), `*`(Pi...
 

Plot_2d
 

>